Nos vies se retrouvent de plus en plus influencées par des modèles mathématiques. Je ne parle pas seulement des algorithmes qui guident nos choix sur internet, auxquels j’avais déjà consacré un billet, mais également des décisions politiques prises ou à prendre (économie, climat, épidémiologique, etc.).
Au-delà de l’exploitation proprement dite du résultat de ces modèles, leur caractère mathématique agit comme une forme d’autorité qui ne souffrirait aucune contestation. Autrement dit : si les mathématiques le disent, alors c’est vrai.
Pourtant, ces modèles mathématiques découlent parfois d’hypothèses et de contraintes, et dépendent des données utilisées pour les construire et les exploiter.
L’objectivité des mathématiques
Les mathématiques sont un système d’objets abstraits (nombre, structures, formes, etc.) et de règles régissant l’usage de ces objets. Ainsi, on peut affirmer que
Cette affirmation ne dépend ni des convictions ni de la situation de la personne qui l’énonce. Dès lors qu’on se situe dans le champ des mathématiques, il s’agit d’une «vérité mathématique» indiscutable.
Depuis les travaux de Kurt Gödel, on sait que les mathématiques ne sont pas complètes et que certaines propositions ne peuvent être démontrées ou réfutées [1]. Cependant, s’ils définissent une limite dans ce que les mathématiques peuvent énoncer, ces travaux ne remettent pas en cause la «vérité mathématique».
La modélisation mathématique
Un modèle mathématique est un ensemble d’équations qui, sur base de données d’entrée, produit des données de sorties1. Quand on «applique» les données d’entrée, on déclenche une succession de calculs (et de données intermédiaires) qui aboutissent aux données de sortie.
Prenons le cas simple d’une équation linéaire de premier ordre
Un modèle sert souvent à résoudre un problème donné, comme prédire quelque chose (par exemple la diffusion d’une pandémie) ou simuler une situation (telle qu’étudier le déroulement d’une réaction nucléaire).
Supposons que notre exemple modélise le prix des pommes :
La modélisation descriptive
Historiquement, le processus de découverte des sciences de la nature utilise l’approche descriptive pour construire des modèles mathématiques décrivant des parties du réel.
On identifie d’abord l’ensemble des phénomènes physiques et/ou sociaux en jeu et on modélise mathématiquement la manière dont ils interagissent. En combinant cette dernière avec les modèles mathématiques des différents phénomènes on obtient un modèle final.
Il s’agit donc d’une approche récursive. Chaque phénomène est lui-même décrit comme un modèle mathématiques construit à partir de phénomènes plus basiques qui le constituent2. On cherche à comprendre au mieux chaque détail de la réalité caractérisant le problème à résoudre.
Toute erreur dans la description d’un phénomène ou d’une interaction diminue évidemment la valeur prédictive et explicative du modèle mathématique, voire lui enlève tout usage intéressant.
La complexité de la réalité
Différentes difficultés obligent à construire un modèle mathématique ne disposant que d’une précision limitée, mais que l’on espère suffisante pour une série d’usages donnée.
Pour certains modèles, il est impossible de construire des solutions. C’est le cas des équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides pour lesquelles aucune preuve générale de l’existence et de la régularité des solutions en trois dimensions n’existe. On est donc obligé d’employer une méthode d’approximation numérique3.
La complexité d’un modèle peut empêcher son calcul pratique car les ordinateurs disposent de ressources limitées (mémoire et puissance de calcul). Comme l’augmentation de la précision implique généralement celle de la puissance computationnelle nécessaire, il faut trouver un compromis entre précision des résultats et capacité des ordinateurs.
La complexité de certains phénomènes empêche la construction d’un modèle mathématique sans simplification. Les processus humains échappant à des lois précises, il est par exemple impossible de modéliser le comportement de chaque électeur et électrice en vue de prédire le résultat d’une élection. Les sondages ne reposent que sur des modèles mathématiques somme toute simples4.
L’impossibilité de mesurer précisément certains phénomènes peut également perturber leur modélisation. Si je dispose de données issues uniquement d’un marché de village, où les quantités achetées dépassent rarement le kg, mon modèle risque de ne pas représenter toutes les situations possibles à une échelle plus vaste.
Vérité scientifique et vérité mathématique
En fait, l’existence d’un modèle mathématique destiné à décrire un phénomène donné ne garantit aucunement son utilité concrète.
Prenons la seconde loi (modèle mathématique) d’Isaac Newton
Pour autant, si je fixe \(a\) à \(10^{12}\) \(m/s^2\) et \(m\) à \(9,1\cdot 10^{-31}\) kg, et que j’applique ce modèle mathématique, \(F\) vaudra toujours \(9,1×10^{-19}\) N. Même si cette valeur n’a aucun sens du point de vue physique, le calcul est «correct».
Si je reviens au modèle du prix des pommes et que je fixe
Il faut donc distinguer vérité mathématique et vérité scientifique, l’une n’impliquant pas nécessairement l’autre. Pour le dire autrement, ni la complexité d’un modèle donné ni sa validité mathématique démontrée ne sont des gages d’un usage pertinent pour décrire une portion de la réalité.
La dépréciation d’un modèle mathématique
Le philosophe des sciences Karl Popper parle de falsification d’un modèle6 pour décrire les conditions qui lui retirent son statut scientifique [2]. C’est notamment le cas lorsqu’un modèle alternatif plus précis existe ou lorsque des faits observés contredisent les prédictions.
Pourtant, même lorsqu’un modèle est falsifié, il peut conserver une utilité. Pour de nombreuses situations du quotidien, la seconde loi d’Isaac Newton propose une approximation suffisamment précise pour éviter la mobilisation de modèles mathématiques plus complexes.
De même, malgré leur imprécision, de nombreux modèles mathématiques proposent des résultats parfaitement utilisables et qui collent à la réalité suffisamment bien pour justifier leur usage, comme les approximations des équations de Navier-Stokes citées plus haut.
Je parle de dépréciation d’un modèle lorsqu’il est non seulement falsifié mais qu’il perd également toute utilité scientifique pratique. La théorie de l’éther luminifère introduite au XIXe siècle et qui postulait l’existence d’un milieu invisible permettant la propagation de la lumière est un bon exemple d’un modèle déprécié.
Si un grossiste en fruits et légumes me donne des factures montrant que le modèle mathématique donné plus haut ne lui fournit pas une approximation utile du prix des pommes, ce dernier devient déprécié, a minima dès que le quantité dépasse un seuil donné (5 kg par exemple).
Le fétichisme de la vérité mathématique
Mais une dépréciation ne remet pas en cause la vérité mathématique du modèle. Et c’est bien là que se situe le piège. Que ce soit par ignorance, par inadvertance ou par manipulation, on confond souvent les deux.
Cette méprise devient d’autant plus problématique lorsque des personnes créent un modèle mathématique sur base d’hypothèses simplificatrices de la réalité, surtout si certaines d’entre elles découlent directement de leurs biais.
Jusqu’au XXe siècle, des modèles mathématiques issus de «théories scientifiques» nauséabondes, défendues au sein d’universités prestigieuses, prétendaient mesurer des différences de QI entre groupes ethniques. Ce cas extrême rappelle que la vérité mathématique ne dit rien quant à son utilisabilité concrète.
Si la mathématisation d’un problème offre de nombreux avantages, dont le traitement numérique, la réalité ne se plie pas forcément à une contrainte d’ordre mathématisable. Du coup, le choix de simplifications parfois nécessaires et effectuées par des humains influencent directement le modèle mathématique.
La simplicité comme choix politique
Illustrons ceci avec le Produit Intérieur Brut (PIB) qui additionne l’ensemble des richesses produites dans un pays. En le divisant par le nombre d’habitants, on obtient un modèle mathématique supposé indiquer le degré de richesse de ses habitants.
Ce dernier est d’ailleurs utilisé pour piloter de nombreuses politiques publiques7. Pourtant, quand on y prête un peu attention, on se rend vite compte qu’il incorpore une idéologie socioéconomique préexistant. Deux des nombreuses critiques du PIB le rappellent.
Réduire la prospérité d’un pays à ses seules transactions marchandes exclut des dimensions essentielles — bien-être, inégalités, travail domestique, dégradation environnementale, bénévolat (associations, logiciel libre, Wikipédia, etc.) — que le PIB est structurellement incapable de saisir.
De plus, le PIB par habitant ne dit rien sur les écarts de richesses entre les «premiers de cordée» et les habitants les plus pauvres. En effet, une moyenne n’indique nullement la manière dont se répartissent les valeurs qui la composent.
Si je donne 450 g de cerises à trois personnes, j’obtiens une moyenne de 0,45 kg/personne. Si je distribue 2 kg à l’une et 100 g aux deux autres, ma moyenne sera de 0,7 kg/personne. La seconde situation possède donc une moyenne plus grande, tout en étant bien plus inégale que la première.
Mener une politique qui favorise l’une plutôt que l’autre, comme privilégier le PIB par habitant pour évaluer les politiques publiques, relève donc d’un choix éminemment politique.
On pourrait me rétorquer, à juste titre, qu’il est en pratique impossible de construire un quelconque modèle mathématique qui pourrait approcher, ne fût-ce que maladroitement, la mesure de la «richesse réelle» d’un pays. C’est indiscutable. Raison de plus pour ne plus utiliser le PIB8.
L’illusion de modéliser les comportements humains
Aujourd’hui, les sciences humaines et sociales fournissent une multitude de modèles mathématiques [3, 4]. Ceux-ci prétendent proposer une description objective, et donc indiscutable, des phénomènes socio-économiques. Comme si les comportements humains étaient régis par des lois universelles à l’image de celles de la physique, valables en tout lieu et en tout temps.
Tout cela relève évidemment du dogme, notamment en économie [5]. Et que ce dernier soit d’origine épistémologique ou politique, il nous empêche de penser tout changement. «There is no alternative», comme aurait dit Margaret Thatcher, apôtre du chacun pour soi et du laisser-faire économique (les deux allant de pair).
Les nombreuses crises économiques non prévues prouvent, si cela était encore nécessaire, que de nombreux modèles mathématiques dominants en sciences économiques ne représentent pas une vérité scientifique. Il ne s’agit que de vérités mathématiques au service d’une idéologie donnée.
Mon propos n’est évidemment pas dire que les modèles mathématiques n’ont aucune utilité. Mais il faut, en économie comme dans d’autres sciences humaines et sociales, renverser la méthodologie. D’abord partir d’un objectif politique clair9, puis construire des modèles mathématiques pour mettre en place et évaluer les politiques qui y répondent10.
La modélisation purement prédictive
Les mégadonnées (big data) et la puissance computationnelle actuelle favorisent une approche purement prédictive11. Son mantra : «L’important n’est plus le pourquoi mais le quoi» [6]. Elle se trouve notamment au cœur de l’IA actuelle (dont les grands modèles de langage).
Ici, on ajuste les paramètres d’un énorme modèle mathématique générique de manière à coller au mieux aux régularités qui se trouvent dans un vaste corpus d’apprentissage. Le modèle tend alors à reproduire des prédictions similaires à des situations nouvelles similaires à celles du corpus d’apprentissage.
Contrairement à l’approche descriptive, on ne cherche plus à comprendre la nature du problème étudié12. On se contente d’exploiter les résultats produits en misant sur le fait que le corpus d’apprentissage est bien représentatif du problème étudié et que le modèle encapsule correctement l’ensemble des régularités. Or ces deux hypothèses sont très difficiles à vérifier en pratique.
Loin de répondre aux défauts de l’approche descriptive, la modélisation purement prédictive ajoute un défaut supplémentaire : la complexité des modèles mathématiques rend impossible de tracer les éléments qui les amènent à prédire telle solution plutôt que telle autre.
Cette incompréhension devrait susciter un réel questionnement quant à l’usage toujours plus important de modèles mathématiques construits sur base d’une approche purement prédictive. Surtout lorsque leurs résultats soutiennent des décisions qui nous concernent.
Déconstruire l’utilisation des mathématiques
Les mathématiques se retrouvent régulièrement utilisées comme argument d’autorité pour présenter des décisions subjectives comme le résultat de contraintes «naturelles». On les instrumentalise trop souvent pour imposer des idéologies en dehors de tout débat démocratique.
L’exemple de l’étude affirmant qu’au-delà d’un ratio dette/PIB de 90 %, la croissance d’un pays se contracte significativement est un cas d’école [7]. Elle a servi à justifier de nombreuses politiques d’austérité, bien qu’en 2013 une recherche ait démontré qu’une erreur dans le fichier Excel des auteurs invalidait largement ses conclusions.
Parfois, y compris dans le milieu académique, celles et ceux qui mobilisent des modèles mathématiques n’ont pas conscience de leur dimension dogmatique. On reproduit simplement ce qui a «toujours» été fait sans beaucoup de questionnement13.
Nous devons donc urgemment remettre au centre de nos actions la recherche de la vérité en dehors de tout dogme. Voilà qui constituerait une réelle ambition autant pour une éducation populaire et démocratique que pour une recherche scientifique au service du seul progrès humain. Mais ceci est une autre histoire…
Références
[1] Kurt Gödel, «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.», Monatshefte für Mathematik und Physik, 38,, pp. 173-198, 1931.
[2] Karl Popper, La connaissance objective. Flammarion, 1979.
[3] Michel de Vroey, «La mathématisation de la théorie économique. Le point de vue de l’histoire des théories économiques», Reflets et perspectives de la vie économique, XLI (4), pp. 9–20, 2002.
[4] Pierre-Michel Menger, «La sociologie face à la mathématisation», Enquête, 8, pp. 51–78, 1993.
[5] Steve Keen, L’imposture économique, Éditions de l’atelier, 2017.
[6] Viktor Mayer-Schönberger & Kenneth Cukier, Big data: A Revolution that Will Transform how We Live, Work, and Think, John Murray, 2013.
[7] Carmen M. Reinhart & Kenneth S. Rogoff, «Growth in a Time of Debt», American Economic Review, 100(2), pp. 573‑78, 2010.
Notes
- On réserve parfois le mot «modèle» pour des constructions qui représentent un mécanisme causal, ce qui exclut des études purement descriptives ou corrélationnelles. Mais, pour mon propos, je préfère utiliser une définition plus large. ↩︎
- On retrouve ici la méthode décrite par René Descartes dans son célèbre Discours de la méthode. ↩︎
- Pour résoudre ces équations qui dépendent de grandeurs continues (par exemple la température et la pression), on «découpe» l’espace en des cellules au sein desquelles on suppose ces grandeurs uniformes (constantes sur tout le volume de la cellule). ↩︎
- En pratique, les sondeurs interrogent un échantillon très limité de personnes qu’ils espèrent représentatives (via des profils types) et introduisent différentes corrections pour compenser les sous- et surreprésentations de certaines catégories. Les marges d’erreur apportent une information supplémentaire (mais rarement comprise) pour interpréter le degré de validité des résultats. De plus, sachant que la publication de sondages impacte la manière dont les électeurs et électrices se comportent, ceux-ci ne peuvent plus prétendre décrire la réalité objectivement puisqu’ils l’influencent. ↩︎
- On peut en effet imaginer que pour de grandes quantités de pommes, le prix du conditionnement n’est plus négligeable. ↩︎
- Karl Popper parle en fait de la falsification d’une théorie scientifique, mais cela revient au même lorsque cette théorie s’exprime mathématiquement. ↩︎
- La tentation est grande de signaler que sa simplicité explique en partie son succès auprès des responsables politiques. Il est évidemment plus simple de prendre des décisions qui optimise un indicateur que plusieurs. ↩︎
- Différents indicateurs économiques ont été proposés par des économistes pour mieux évaluer la richesse d’un pays, mais ils ne sont que rarement mobilisés par les politiques publiques. ↩︎
- Par «clair» j’entends à la fois une clarté en termes d’objectifs et de priorités, mais également une transparence par rapport à la population, condition nécessaire pour assurer un réel débat démocratique. Les politiques d’austérité en sont un contre-exemple : les présupposés idéologiques se dissimulent souvent derrière la dimension mathématique des modèles mobilisés. ↩︎
- Dans un monde idéal, le milieu universitaire proposerait en continu une diversité de modèles correspondant à différentes politiques possibles, permettant aux responsables politiques de disposer des outils de pilotage pour un choix démocratique. Malheureusement, en pratique, ce n’est pas forcément le cas. ↩︎
- Bien que l’approche purement prédictive soit de plus en plus utilisée de par le déferlement des données numériques, l’approche descriptive reste encore bien présente. ↩︎
- En réalité, pour les plus gros modèles, on ne comprend pas du tout comment il fonctionne. ↩︎
- Pour les cherchereuses en économie, l’obligation de publier dans les revues orthodoxes pour espérer un futur universitaire rend parfois difficile la remise en question des modèles mathématiques existants et ce malgré leurs nombreuses limites. ↩︎